VÀI
NÉT
VỀ SUDOKU
GS Tiến Sĩ
Tô
Đồng
Khoa trưởng
trường Đại Học Dược Khoa Sài
G̣n
1974-1975.
Bài
3 :
2. SUDOKU
9x9
Ta có thể vẽ một
Sudoku hoàn toàn theo h́nh vuông Latin sau trong H́nh
11, mà A, B, C, D, E, F, G, H, I là 9 thông số có thể có bất
cứ trị số nào:
A |
G |
D |
C |
I |
F |
H |
E |
B |
B |
H |
E |
A |
G |
D |
I |
F |
C |
C |
I |
F |
B |
H |
E |
G |
D |
A |
H |
E |
B |
G |
D |
A |
C |
I |
F |
I |
F |
C |
H |
E |
B |
A |
G |
D |
G |
D |
A |
I |
F |
C |
B |
H |
E |
E |
B |
H |
F |
C |
I |
D |
A |
G |
F |
C |
I |
D |
A |
G |
E |
B |
H |
D |
A |
G |
E |
B |
H |
F |
C |
I |
H́nh 11
5 |
1 |
8 |
3 |
9 |
6 |
7 |
2 |
4 |
4 |
7 |
2 |
5 |
1 |
8 |
9 |
6 |
3 |
3 |
9 |
6 |
4 |
7 |
2 |
1 |
8 |
5 |
7 |
2 |
4 |
1 |
8 |
5 |
3 |
9 |
6 |
9 |
6 |
3 |
7 |
2 |
4 |
5 |
1 |
8 |
1 |
8 |
5 |
9 |
6 |
3 |
4 |
7 |
2 |
2 |
4 |
7 |
6 |
3 |
9 |
8 |
5 |
1 |
6 |
3 |
9 |
8 |
5 |
1 |
2 |
4 |
7 |
8 |
5 |
1 |
2 |
4 |
7 |
6 |
3 |
9 |
H́nh 12 (trị số A=5,
B=4, C=3....lấy từ h́nh 11)
6 |
2 |
7 |
8 |
4 |
3 |
9 |
5 |
1 |
1 |
9 |
5 |
6 |
2 |
7 |
4 |
3 |
8 |
8 |
4 |
3 |
1 |
9 |
5 |
2 |
7 |
6 |
9 |
5 |
1 |
2 |
7 |
6 |
8 |
4 |
3 |
4 |
3 |
8 |
9 |
5 |
1 |
6 |
2 |
7 |
2 |
7 |
6 |
4 |
3 |
8 |
1 |
9 |
5 |
5 |
1 |
9 |
3 |
8 |
4 |
7 |
6 |
2 |
3 |
8 |
4 |
7 |
6 |
2 |
5 |
1 |
9 |
7 |
6 |
2 |
5 |
1 |
9 |
3 |
8 |
4 |
H́nh 13 (Trị số khác
của A=6, B=1.....lấy từ h́nh 11)
Thí dụ bài đố H́nh 14, càng
ít ô số cho sẵn, thường cho nhiều lời giải:
9 |
|
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
9 |
|
5 |
|
|
|
8 |
|
|
|
3 |
7 |
|
|
9 |
|
|
6 |
|
|
4 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
6 |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
6 |
H́nh 14 (Toán đố)
9 |
5 |
3 |
4 |
2 |
6 |
7 |
1 |
8 |
8 |
7 |
2 |
5 |
3 |
1 |
6 |
9 |
4 |
6 |
1 |
4 |
7 |
8 |
9 |
2 |
5 |
3 |
4 |
6 |
8 |
2 |
1 |
5 |
3 |
7 |
9 |
2 |
9 |
7 |
3 |
6 |
8 |
5 |
4 |
1 |
5 |
3 |
1 |
9 |
7 |
4 |
8 |
6 |
2 |
7 |
8 |
9 |
6 |
4 |
2 |
1 |
3 |
5 |
1 |
4 |
6 |
8 |
5 |
3 |
9 |
2 |
7 |
3 |
2 |
5 |
1 |
9 |
7 |
4 |
8 |
6 |
H́nh 14 (Bài giải 1, 41-55)
9 |
5 |
3 |
4 |
2 |
6 |
7 |
1 |
8 |
8 |
2 |
7 |
5 |
3 |
1 |
6 |
9 |
4 |
6 |
1 |
4 |
7 |
8 |
9 |
2 |
5 |
3 |
4 |
6 |
8 |
2 |
1 |
5 |
3 |
7 |
9 |
7 |
9 |
2 |
3 |
6 |
8 |
5 |
4 |
1 |
5 |
3 |
1 |
9 |
7 |
4 |
8 |
6 |
2 |
2 |
8 |
9 |
6 |
4 |
7 |
1 |
3 |
5 |
1 |
4 |
6 |
8 |
5 |
3 |
9 |
2 |
7 |
3 |
7 |
5 |
1 |
9 |
2 |
4 |
8 |
6 |
H́nh 14 (Bài giải 2, 36-55)
9 |
5 |
2 |
4 |
8 |
6 |
7 |
1 |
3 |
8 |
7 |
3 |
5 |
2 |
1 |
6 |
9 |
4 |
6 |
1 |
4 |
7 |
3 |
9 |
2 |
5 |
8 |
4 |
6 |
8 |
2 |
1 |
5 |
3 |
7 |
9 |
2 |
9 |
7 |
3 |
6 |
8 |
5 |
4 |
1 |
5 |
3 |
1 |
9 |
7 |
4 |
8 |
6 |
2 |
7 |
8 |
9 |
6 |
4 |
2 |
1 |
3 |
5 |
1 |
4 |
6 |
8 |
5 |
3 |
9 |
2 |
7 |
3 |
2 |
5 |
1 |
9 |
7 |
4 |
8 |
6 |
H́nh 14 (Bài giải 3, 41-50)
9 |
5 |
2 |
4 |
8 |
6 |
7 |
1 |
3 |
8 |
7 |
3 |
5 |
2 |
1 |
6 |
9 |
4 |
6 |
1 |
4 |
7 |
3 |
9 |
2 |
5 |
8 |
5 |
6 |
8 |
2 |
1 |
4 |
3 |
7 |
9 |
2 |
9 |
7 |
3 |
6 |
8 |
5 |
4 |
1 |
4 |
3 |
1 |
9 |
7 |
5 |
8 |
6 |
2 |
7 |
8 |
9 |
6 |
4 |
2 |
1 |
3 |
5 |
1 |
4 |
6 |
8 |
5 |
3 |
9 |
2 |
7 |
3 |
2 |
5 |
1 |
9 |
7 |
4 |
8 |
6 |
H́nh 14 (Bài giải 4, 42-49, và v.v.)
Lời
Bàn Luận
Tổng số các ô hiện hữu trong
Sudoku 9x9 có thể lên tới con số kỷ lục 6.67x1021
theo Bertram Felgenhauer và Frazer Jarvis. Nếu trừ đi
các phần đối xứng, Jarvis và Russell cho rằng Sudoku
có trên 5.47 tỷ đáp số. Bài này không nói đến những cách
giải dùng toán học như số học, đại số học, ma trận.. hoặc
nhờ vào những thảo chương điện toán.
Bài đố càng khó v́ ít ô số
cho sẵn, lại có thể cho nhiều lời giải, như thí dụ của bài
đố trong H́nh 5, H́nh 14.... Từ cách thành lập Sudoku,
có 3x9 = 27 điều kiện/sự ràng buộc trong 9 khu vuông, 9 hàng,
9 cột. Nếu ta thêm sự ràng buộc vào hai đường chéo chính để
cho ra Sudoku hoàn toàn, th́ số điều kiện tăng lên là
29. V́ thế, số đáp số cho Sudoku hoàn toàn ít hơn số
đáp số cho Sudoku. Sự t́m kiếm sẽ dễ dàng hơn đôi
chút.
Trong Sudoku, ta cũng
có thể nối kết những tập hợp ba con số trong các khu vuông
để cho ra tổng số 15, như trường hợp một Ma Phương. Điều này
được mô tả trong những H́nh 10b, 12b, 13b. Đặc biệt trong
H́nh 13b, khu vuông trung tâm có 9 ô là một Toàn Ma
Phương của thời Phục Hi, trong khi các khu vuông chung
quanh trở thành Bán Ma Phương.
Ngoài ra, ta c̣n có
Sudoku lập phương, giống như tṛ chơi Rubik cube đă thấy
phổ thông từ thập niên 1980, với các chuỗi số của Sudoku.
Tùy theo cách sắp xếp các
con số, ta có thể tạo thành nhiều mô h́nh đặc sắc, dựa vào
Lư thuyết các tập hợp (Théorie des ensembles, Set Theory).
Nói đến các tập hợp, tác giả
liên tưởng đến môn Tân Toán Học hay Mathématiques Modernes
ở Pháp, Modern Mathematics ở Anh và New Math ở Mỹ. Môn học
này thật ra không có ǵ mới lạ v́ xuất hiện trên một thế kỷ,
nhưng đă được đem ra áp dụng tại nhà trường vào đầu thập
niên 60 của thế kỷ trước, tại các trường Trung Học Chương
Tŕnh Pháp Ngữ ở Việt Nam. Hệ phái Nicolas Bourbaki gồm
nhiều nhà toán học Pháp quá đặt nặng tính trừu tượng nên
quan niệm không thiết thực đă sinh ra một số áp dụng sai lầm.
Nhiều điều giảng dậy ít liên quan với cuộc sống, đă làm bối
rối cả học sinh lẫn phụ huynh. Có lẽ các nhà khảo cứu ưa
chuộng lối suy luận sâu rộng, v́ quá vội vă áp dụng những
điều tốt đẹp nên quên mất khía cạnh cầu kỳ/hư ảo. Dần dà Tân
Toán Học không c̣n là đề tài bàn căi v́ những sự quá trớn đă
được bỏ đi để thay vào những điều thực dụng dễ hấp thụ hơn.
Toán đố Sudoku loại
dễ sẽ khuyến khích sự yêu thích việc tính toán và t́m ṭi.
Điều này rất thích hợp cho trẻ em, v́ tinh thần toán học vốn
cần thiết cho thời đại thông tin/điện toán hiện nay. Đối với
các bậc cao niên, th́ kiếm bài giải cho một Sudoku là
việc vận dụng thêm trí năo, nhất là khi mà thú chơi mạt
chược trở thành khó thực hiện.
Có quá nhiều đồ chơi, sách
vở, website nói về tṛ toán đố này, v́ vậy tác giả chỉ xin
ghi lại một hai tài liệu. Trên Mạng lưới toàn cầu, cũng
nhiều nhóm tụ họp nhau để thi đua hay giải trí về môn
Sudoku.
Thư Mục:
1)
Andrews W. S. (1960): Magic Squares and Cubes
Dover Publications, Inc. New York, New York
2)
Ian Stewart (1995):
Concept of Modern Mathematics
Dover Publications, Inc., New York
3)
David C. Lay (1994):
Linear Algebra and its Applications
Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
4)
Richard A. Brualdi & Herbert J. Ryser (1992):
Combinatorial Matrix Theory
Cambridge University Press
Mạng Lưới:
-
Wikipédia,
Encyclopédie libre:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Sudoku
-
Magic Square:
http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html
San Diego, 14 tháng 12, 2006
Giáo Sư
Tô
Đồng
Khoa trưởng
trường Đại Học Dược Khoa Sài
G̣n
1974-1975.
www.ninh-hoa.com |